RESUMEN
CONCEPTOS
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APLICACIÓN
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Momento lineal o cantidad de movimiento (p): vector relacionado
con la resistencia que ofrece un cuerpo o partícula a variar su movimiento.
p=m.v
(kg.m/s)
Momento lineal de un sistema material formado por varios cuerpos o partículas.
Es la suma de los momentos de cada uno de sus
componentes
p=p1+p2+p3+……
Conservación del momento lineal : Si sobre un sistema no actúan fuerzas externas su cantidad de
movimiento se conserva
p0=p
Impulso mecánico Vector que mide la variación en la cantidad
de movimiento
I=∆p=p-p0 (kg.m/s)
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1. Un trozo de plastilina de 250 g es lanzado con una velocidad de 10 m/s contra un bloque de madera de 500 g situado sobre una mesa horizontal. Tras el impacto la plastilina queda adherida al bloque. Calcular la velocidad con la que se inicia el deslizamiento del conjunto.
(Sol: 3.33m/s)
2. Un patinador de 60 kg se encuentra situado sobre un monopatín de 3 kg
en reposo. En determinado momento el patinador se impulsa hacia la derecha
con una velocidad de 1 m/s. ¿Qué ocurrirá con el monopatín?
(Sol:-20 m/s)
3. Dos bolas de billar iguales chocan frontalmente con
velocidades de 4,2m/s y 2,8m/s.
Después del choque, la primera se mueve en una dirección que forma 15º con su
dirección inicial y la 2ª 210º con la dirección inicial de la primera.
Calcula los módulos de las velocidades de ambas (2,7 y 1,4m/s)
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LEYES DE LA DINÁMICA
Para
fuerzas constantes:
∑F= ∆p/∆t=I/∆t; ∑F=m.a
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4. Un avión de 75 T necesita una pista de 2 km para conseguir la velocidad
de 180 km/h. ¿Qué fuerza han de ejercer los motores para conseguirla? ¿Qué
tiempo transcurre desde que inicia el recorrido hasta que despega? (46875 N,
80 s)
5. La rapidez de un móvil varía uniformemente desde 18 km/h hasta 32,4 km/h
en untiempo de 2 segundos. Si la fuerza constante que produce esa aceleración
es de 196 N,calcular la masa del móvil, expresada en kilogramos.(98 kg)
6. Una pelota de tenis de 100 g de masa lleva una rapidez de 20 m/s. Al ser
golpeada por una raqueta, se mueve en sentido contrario con una rapidez de 40
m/s. Calcular:(a) Variación del módulo del momento lineal.(b) Si le pelota
permanece en contacto con la raqueta 10−2s, cuál es el módulo de
lafuerza media del golpe.(6 kg·m/s; 600 N)
7. Con una fuerza de 10N impulsamos una caja de 5kg que a su vez empuja una
caja de 15 kg situadas ambas sobre un plano horizontal sin rozamiento.
Calcula las fuerzas que actúan sobre cada una de las cajas y la aceleración
del sistema. (a= 0,5m/s2;
Sobre la primera caja actúan: P=49N; N=49N; Fm =10N; F=-7,5N; Sobre la segunda
caja actúa F=7,5N P=N=147N)
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CONCEPTOS
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APLICACIÓN
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Ley de la gravitación universal Dos cuerpos cualesquiera se
atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa
F=-G.m1m2/R2ur
En el caso de movimientos cuerpos celestes
orbitando alrededor de un cuerpo de mayor tamaño, igualamos la fuerza de atracción
gravitatoria a la fuerza centrípeta Fc=mv2/R
En el caso de la fuerza peso, la aceleración
gravitatoria (g) depende de las características del planeta (su masa y su
radio) g=GM/R2
G=6,62.10-11 Nm2/kg2
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8. La
tercera Ley de Kepler dice que el cuadrado del periodo orbital de un planeta es
directamente proporcional al cubo del radio de su órbita. Demuéstralo
mediante la LGU
9. La
masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio
de la Tierra. Calcula lo que pesará en la Luna una persona que tiene una masa
de 70 kg (135,5N)
Calcula
el periodo de la estación espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en
una órbita situada a una distancia media de 400 km sobre la superficie de la
Tierra. Datos:RT = 6370 km; g0 = 9,8 m/s2 (93min)
10. Calcular el valor
de la aceleración dela gravedad a una altura de la superficie terrestre igual a 2 veces el radio de la Tierra
(1,09m/s2)
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Fuerza de rozamiento (Fr): Fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos.
Fr=μN
µ es el coeficiente de rozamiento que depende de la naturaleza
de las superficies en contacto. Puede ser estático (el cuerpo no se mueve) y
dinámico.
N es la fuerza normal: Fuerza de reacción de las superficies que es
igual a la fuerza de acción sobre las mismas y perpendicular a ellas.
Ejemplos: Si sólo actúa el peso de los cuerpos:
-
En una superficie horizontal N=mg
- En un plano inclinado
N=mgcosθ
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11. Calcula
el coeficiente rozamiento en los siguientes casos
a) Empujamos una caja de 200kg
sobre una superficie horizontal con una fuerza de 1000N y no conseguimos moverla.
b) Un coche de 2000kg se
desplaza a velocidad constante por una carretera horizontal cuando el motor
ejerce una fuerza de 5000N
c) Un hombre tira de una caja
de 200kg que reposa sobre una superficie horizontal, tirando de una cuerda
que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Para conseguir que se mueva la
caja debe ejercer una fuerza de 1000N
d) Un bloque de 15Kg se
desliza con velocidad constante por un plano inclinado 30º respecto a la
horizontal.
e) Para evitar que un cuadro de 500g caiga al suelo mientras
lo clavamos debemos presionar contra la pared con una fuerza de 12N
(0,51; 0,26; 0,46; 0,58; 0,4) |
CONCEPTOS
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APLICACIÓN
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APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON
Consideramos en todos los casos, positivas
las fuerzas que actúan en sentido al movimiento y negativas en sentido opuesto.
Plano
inclinado: Debemos
descomponer el peso en su componente paralela al plano Px=mgsenθ y perpendicular al mismo Py=mgcosθ
Sistemas de poleas Teniendo en cuenta que todos los componentes
del sistema tienen la misma aceleración, e aplica la segunda ley de Newton
sobre cada uno de ellos. De este modo obtendremos un sistema de tantas
ecuaciones como incógnitas tengamos (a, T1, T2…..)
Cuerpos dentro de sistemas no inerciales (que poseen determinada
aceleración): ascensores, móviles girando o acelerando, etc)
-
Desde el punto de vista de un observador inercial (fuera del
sistema) La suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a
la masa del mismo por la aceleración del sistema.
- Desde el punto de
vista de un observador no inercial (dentro del sistema) : Se tiene en cuenta
la fuerza ficticia que es igual al producto de la masa del cuerpo por la
aceleración del sistema y con sentido contrario a esta. En este caso la suma
de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo (incluida la ficticia) es
igual a cero.
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12. Un
bloque de 5 Kg. se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una
velocidad inicial de 8 m/s. El bloque se detiene después de recorrer 3 m a lo
largo del plano, el cual está inclinado un ángulo de 30° respecto a la
horizontal. Determine: (a)La fuerza de fricción ejercida sobre él (b) El
coeficiente de fricción cinético (29 N; 0,68)
13. Un
bloque de 3 Kg. parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 30º
y se desliza 2 metros hacia abajo en 1,5 s. Encuentre: (a) La magnitud de la
aceleración del bloque. (b) El coeficiente de fricción cinética entre el
bloque y el plano. (c) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. (d)
La velocidad del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.(1,77m/s2;
0,369; 9,4N; 2,66m/s)
14. Dos
cuerpos de 10 y 30Kg descansan sobre un plano horizontal y uno inclinado 30º
respectivamente, unidos por una cuerda que pasa por una polea. Los
coeficientes de rozamiento son µ1=0,15 y µ2=0,3. Hallar
la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda (1,4m/s2;
28,7N)
15. Un
hombre de 70 kg de masa se encuentra en la cabina de un ascensor, cuya altura
es de 3 m. Calcular su masa aparente cuando ascienda con una aceleración
constante de 2m/s2, cuando descienda con una aceleración del mismo valor, y
cuando suba o baje con velocidad constante.( 84,3 kg; 55,7 kg; 70 kg)
16. Un cubo de masa 1.000 gramos está atado a una cuerda. Se le impulsa para
que describa una circunferencia de radio 1m en un plano vertical.
(3,1m/s; 19,6N; 13,9N)
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Para entenderlo mejor
Problemas resueltos
EJERCICIOS DEL RESUMEN RESUELTOS
1. Un trozo de plastilina de 250 g es lanzado con una
velocidad de 10 m/s contra un bloque de madera de 500 g situado sobre una mesa
horizontal. Tras el impacto la plastilina queda adherida al bloque. Calcular la
velocidad con la que se inicia el deslizamiento del conjunto.
p0=p
0,25.10+0,5.0=0,75.v
v=2,5/0,75= 3,33m/s
2. Un patinador de 60 kg se encuentra situado sobre un
monopatín de 3 kg en reposo. En determinado momento el patinador se impulsa
hacia la derecha con una velocidad de 1 m/s. ¿Qué ocurrirá con el monopatín?
63.0=60.1+3.v;
v=- 60/3= -20m/s
Se deslizará hacia la izquierda a 20m/s
3. Dos bolas de billar iguales chocan frontalmente con
velocidades de 4,2m/s y 2,8m/s. Después del choque, la primera se mueve
en una dirección que forma 15º con su dirección inicial y la 2ª 210º con la
dirección inicial de la primera. Calcula los módulos de las velocidades de
ambas
p0= (4,2m-2,8m)i= 1,4mi
p= (v1cos15+v2cos210)mi + (v1sen15 + v2sen
210)mj
1,4= v1cos15+v2cos210
0= v1sen15+v2sen210
Resolviendo el sistema: v1=2,7m/s
y v2= 1,4m/s.
4. Un avión de 75 T necesita una pista de 2 km para
conseguir la velocidad de 180 km/h. ¿Qué fuerza han de ejercer los motores para
conseguirla? ¿Qué tiempo transcurre desde que inicia el recorrido hasta que
despega?
v= 180km/h= 50m/s
m=75Tm=75000kg
s=2km=2000m
F=ma
v2-v02=
2as; a=v2/2s; a= 502/4000; a= 0,625m/s2
F=75000.0,625= 46875N
v=v0+at;
t=v/a; t=50/0,625= 80s
5. La rapidez de un móvil varía uniformemente desde 18
km/h hasta 32,4 km/h en un tiempo de 2 segundos. Si la fuerza constante que
produce esa aceleración es de 196 N, calcular la masa del móvil, expresada en
kilogramos.
v0=
18km/h=5m/s
v= 32,4km/h= 9m/s
a=(v-v0)/t=
(9-5)/2=2m/s2
F=m.a; a=F/m= 196/2=98kg
6. Una pelota de tenis de 100 g de masa lleva una rapidez
de 20 m/s. Al ser golpeada por una raqueta, se mueve en sentido contrario con
una rapidez de 40 m/s. Calcular:(a) Variación del módulo del momento lineal.(b)
Si le pelota permanece en contacto con la raqueta 10−2s, cuál es el
módulo de lafuerza media del golpe.
I=Δp=m(v-v0)=0,1(20-(-40))=
6N.s
I=F.t; F=I/t= 6/10-2= 600N
7. Con una fuerza de 10N impulsamos una caja de 5kg que a
su vez empuja una caja de 15 kg situadas ambas sobre un plano horizontal sin
rozamiento. Calcula las fuerzas que actúan sobre cada una de las cajas y la
aceleración del sistema.
F= Fuerza de acción de la caja de 5kg sobre la
de 15kg
-F= Fuerza de reacción de la caja de 15 kg sobre
la de 5kg.
Aplicando el segundo principio sobre cada caja:
10-F=5a
F=15a
10=20a; a=10/20=0,5m/s2
F=15a=15.0,5=7,5N
Sobre la primera caja actúan: La fuerza motriz=
10N; La fuerza de reacción= 7,5N; su peso y la normal que valen: 49N
Sobre la segunda caja actúa la fuerza de acción
de 7,5N; su peso y la normal que valen 147N
8. La tercera Ley de Kepler dice que el cuadrado del
periodo orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del radio de
su órbita. Demuéstralo mediante la LGU
En este caso la fuerza de atracción gravitatoria
será igual a la fuerza centrípeta que hace girar al planeta en torno al Sol.
F=GmM/R2
F=mv2/R
Igualando ambas expresiones y simplificando las
masas y los radios
GM/R2=v2/R; GM=v2R
Como v=ωR=(2π/Τ)R
GM=((2π/Τ)R)2R
GM= (4π2/ Τ2)R3
GM Τ2= 4π2R3 q.e.d.
9. La masa de la Luna es 1/8 1de la masa de la Tierra y
su radio es 1/4 del radio de la Tierra. Calcula lo que pesará en la Luna una
persona que tiene una masa de 70 kg
igualando la fuerza
de atracción gravitatoria en la superficie de un planeta al peso:
GmM/R2=mg;
y simplificando las masas (m)
g=GM/R2
Sustituyendo M por
M/81 y R por R/4
gL=G(M/81):(R/4)2=
G.M/R2.(16/81)= g.0,2= 9,8.0.2= 1,94m/s2
Por lo que el peso
será P=mg=70.1,94= 135,5N
Calcula el periodo de la estación espacial internacional
(ISS), sabiendo que gira en una órbita situada a una distancia media de 400 km
sobre la superficie de la Tierra. Datos:RT = 6370 km; g0 = 9,8 m/s2
Para averiguar la masa de la tierra(M)
utilizamos el valor de g=9,8m/s2
g=GM/R2; M=gR2/G
El radio de la órbita será :R+400000
Sustituyendo el la expresión GM Τ2= 4π2R3
G.(gR2/G)T2=4π2(R+400000)3
T2= 4π2(R+400000)3 /gR2=
4π2(6370000+400000)3/(9,8.63700002)
T2=30804971s2; T= 5550s= 93min
10.
Calcular el valor de la aceleración dela gravedad a una altura de la superficie
terrestre igual a 2 veces el radio de la Tierra
g=GM/R2= G(gR2/G)/(3R)2=
gR2/9R2=g/9= 1,09m/s2
11. Calcula el coeficiente rozamiento en los siguientes
casos
a) Empujamos una caja de 200kg sobre una
superficie horizontal con una fuerza de 1000N y no conseguimos moverla.
b) Un coche de 2000kg se desplaza a
velocidad constante por una carretera horizontal cuando el motor ejerce una
fuerza de 5000N
c) Un hombre tira de una caja de 200kg
que reposa sobre una superficie horizontal, tirando de una cuerda que forma un
ángulo de 60º con la horizontal. Para conseguir que se mueva la caja debe
ejercer una fuerza de 1000N
d) Un bloque de 15Kg se desliza con velocidad
constante por un plano inclinado 30º respecto a la horizontal.
e) Para evitar que un cuadro de
500g caiga al suelo mientras lo clavamos debemos presionar contra la pared con
una fuerza de 12N
a)
Fr= -Fm= -1000N
N=mg= 200.9,8= 1960N;
m= Fr/N=
1000/1960= 0,51
b)
Fr=-Fm= -5000N
N=mg= 2000.9,8= 19600N;
m=
5000/19600= 0,26
c)
Fr=-Fm= -1000cos60= -500N
N=mg-Fsen60= 200x9,8-1000sen60= 1094N; m=500/1094= 0,46N
d)
Fr=-Fm= mgsen30
N=mgcos30 m=mgsen30/mgcos30=tg30=
0,58
e)
Fr=P= mg= 0,5.9,8=4,9N
N= 12N; m=4,9/12= 0,4
12. Un bloque de 5
Kg. se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una velocidad
inicial de 8 m/s. El bloque se detiene después de recorrer 3 m a lo largo del
plano, el cual está inclinado un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Determine:
(a)La fuerza de fricción ejercida sobre él (b) El coeficiente de fricción
cinético
a) -(Fr+Px)=ma
-Fr=ma+Px; Fr=-(ma+Px)
a=(v2-v02)/2s= (0-82)/(2.3)=-10,7m/s2
Px=mgsen30= 5.9,8.sen30= 24,5N
Fr=-(5(-10,7)+24,5)= -29N
b) m=Fr/N=Fr/mgcos30= 0,68
13. Un bloque de 3
Kg. parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 30º y se desliza
2 metros hacia abajo en 1,5 s. Encuentre: (a) La magnitud de la aceleración del
bloque. (b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. (c)
La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. (d) La velocidad del bloque
después de que se ha deslizado 2 metros.
a) s=1/2at2;
a=2s/t2= 2.2/1,52= 1,77m/s2
b) Px-Fr=m.a;
Fr=Px-ma= mgsen30-ma= m(gsen30-a)= 3(9,8.sen30-1,77)= 9,39N; m=Fr/N= 9,39/mgcos30= 0,369
c) Fr=9,39N
d) v=at= 1,77.1,5= 2,66m/s
14. Dos cuerpos de
10 y 30Kg descansan sobre un plano horizontal y uno inclinado 30º
respectivamente, unidos por una cuerda que pasa por una polea. Los coeficientes
de rozamiento son µ1=0,15 y µ2=0,3. Hallar la aceleración
del sistema y la tensión de la cuerda
a) Sobre el bloque 1:
T-Fr1=m1a; T- µ1m1g=
m1a
Sobre el bloque 2: Px-T-Fr2= m2a m2gsen30-T- µ2m2gcos30=m2a
Sumando ambas expresiones m2gsen30- µ2m2gcos30-
µ1m1g= (m1+m2)a
g(m2sen30- µ2m2cos30- µ1m1)=
(m1+m2)a;
a= g(m2sen30-
µ2m2cos30- µ1m1)/(m1+m2)= = 1,4m/s2
b) T= m1a+ -µ1m1g=
m1( a + µ1g)= 28,7N
15. Un hombre de 70
kg de masa se encuentra en la cabina de un ascensor, cuya altura es de 3 m. Calcular
su masa aparente cuando ascienda con una aceleración constante de 2m/s2, cuando
descienda con una aceleración del mismo valor, y cuando suba o baje con
velocidad constante.
m´=N/g=m(g+a)/g= 70.11,8/9,8= 84,3kg.
b) Cuando baja
P-N=ma; N=P-ma; N=mg-ma=m(g-a);
m´= N/g= m(g-a)/g= 70.7,8/9,8= 55,7 kg
c) cuando va con velocidad constante P-N=0; P=N y
m´=m=70kg.
16. Un cubo de masa 1.000 gramos está
atado a una cuerda. Se le impulsa para que describa una circunferencia de radio
1m en un plano vertical.
a) ¿Cuál será la velocidad mínima a la que debe
girar para que la cuerda tenga tensión cero en la parte más alta de la
trayectoria?
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b) ¿Qué tensión soportará la cuerda cuando el cubo
pasa por la parte más baja?
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c) ¿Qué tensión soportará la cuerda cuando pase por
una posición 45º por debajo de la horizontal?
a) En la parte más alta
tensión y peso tienen la misma dirección
T+P=Fc ; Si T=0
Fc=P; mv2/R=mg; v2= gR= 9,8.1= 9,8; v= 3,13m/s
T-P=
Fc; T=Fc+P= m(v2/R+g)=
1(9,8/1+9,8)= 19,6N
c) En este caso la tensión
tiene una componente Ty= Tsen45 que debe compensar al peso; Tsen45=mg; T= mg/sen45= 1.9,8/sen45= 13,9N
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