CONCEPTOS
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APLICACIÓN
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Posición (r) Vector que indica el lugar que ocupa el móvil respecto al origen de
coordenadas. Varía con el tiempo según r(t)
=x(t)i + y(t)j + z(t)
Desplazamiento (Δr) Vector diferencia entre dos
posiciones dadas. Su módulo nos indica la distancia, en línea recta, entre
estas dos posiciones.
Espacio recorrido (s) Longitud de la trayectoria (o camino que describe
el móvil). En el caso de los movimientos rectilíneos coincide el
desplazamiento.
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1. Un móvil describe un
movimiento cuyo vector de posición viene dado por la expresión
r(t)=ti + √(25-t2)j
a) Representa las posiciones para t=0,1,2,3, 4 y 5
segundos ¿Qué tipo de trayectoria describe el móvil?
b) Calcula el desplazamiento y el espacio recorrido
entre t=0 y t=5 segundos.
Sol: (a) circular; (b) Δr=(5,-5); Δr=7,1m; s= 7,9m
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Velocidad: Vector que mide la variación de la posición en la unidad de tiempo. Distinguimos:
a) Velocidad media: vm= Δr/Δt
b) Velocidad instantánea v=dr/dt (vector
tangente a la trayectoria)
En los movimientos
uniformes los módulos de la velocidad media y la instantánea coinciden.
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2. La posición de un
movimiento viene dada por r(t)= 5t2i + 3tj (m)
a) averigua el vector velocidad en función del tiempo.
b) Calcula la velocidad inicial, la velocidad
instantánea a los 10 segundos y la velocidad media en este intervalo de
tiempo.
Sol: (a) v=10ti + 3j (m/s) (b) v(o)= 3m/s;
v(10)= 100i+3j (m/s) ; vm=50i + 3j (m/s)
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Aceleración (a):
Vector que mide la variación de la velocidad en la unidad de tiempo a=dv/dt. Posee dos componentes
perpendiculares que son:
a) La aceleración tangencial (aT).
Vector que produce un cambio en el módulo de la velocidad, haciendo que el
móvil acelere o frene.
Su
módulo se obtiene derivando el módulo de la velocidad respecto al tiempo aT=dv/dt.
Su dirección es la de la velocidad y por tanto tangente a la trayectoria.
b) Aceleración normal o centrípeta (aN).
Vector que produce un cambio en la dirección. Es decir, un giro. Su módulo se
obtiene con la expresión aN=v2/R (donde R es el radio
de giro). Su dirección y sentido es hacia el centro de giro.
Los movimientos rectilíneos
no poseen aceleración normal. Los uniformes no poseen aceleración
tangencial.
a = √(aT2 + aN2)
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3. Calcula la aceleración
en el ejercicio anterior.
Sol: a=10i (m/s2)
4. Un móvil describe una
trayectoria circular de 3m de radio. El módulo de su velocidad varía según la
expresión v=3t (m/s). Averigua la aceleración al cabo de 2 segundos de
iniciarse el movimiento
Sol: 12,37m/s2
5. Un vehículo que se
desplaza a 72km/h acelera 5 s antes de tomar una curva de 30m de radio de
giro, con una aceleración constante de 2m/s2. Calcula la
aceleración centrípeta en el momento de girar.
Sol: 30m/s2
6. Si r(t)= 6t2i
+ 2t2j ¿Qué tipo de
movimiento describe el móvil?
Sol: MRUA en la dirección
del vector (3,1) con aceleración 12,65m/s2
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Interpretación de las
gráficas de un movimiento En ningún
caso informan de la trayectoria.
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Gráficas x-t ó
s-t: El corte con el eje de ordenadas indica la posición inicial. La
pendiente indica la velocidad. Una
recta indica M.U. y una parábola M.U.A.
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Gráficas v-t.
El corte con el eje Y indica la velocidad inicial. La pendiente indica la
aceleración. El área bajo la gráfica indica el espacio recorrido.
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7. Un móvil que se desplaza
a velocidad constante de 10m/s, acelera para alcanzar los 20m/s en 5
segundos. Permanece a esta velocidad durante 10 segundos para luego frenar y
detenerse en 20 segundos. Construye la gráfica v-t y a partir de la misma
calcula la aceleración en cada tramo y el espacio total recorrido.
Sol: a1=2m/s2;
a2=0; a3= -1m/s2 ; s= 475m
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CONCEPTOS
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APLICACIÓN
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Movimiento rectilíneo y
uniforme (MRU)
Las ecuación para describir
este movimiento es:
x=x0 + vt
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8. Un hombre sale de su
casa a las 8h y camina hacia su trabajo que está a 1,2km. Lleva una velocidad
constante de 5,4km/h. 10 minutos más tarde su hijo sale tras él para entregarle unos documentos que ha
olvidado. ¿Qué velocidad mínima deberá llevar para alcanzarle antes de que
llegue al trabajo?
Sol: 21,6km/h
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Movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado (MRUA)
Las ecuaciones que
describen el movimiento son
x=x0 + v0t + 1/2at2
v=v0
+ at
v2- v02=2a(x-x0)
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9. Cuando el
Ferrari de Fernando Alonso se acerca a la chicane de
Monza, su velocidad a 150 m de ésta es de 360 km/h. Cuando entra en la chicane va
a 90 km/h. Suponiendo que la aceleración es constante,
determine su valor y el tiempo empleado en frenar.
Sol: a= -31,25m/s2; t= 2,4s
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Caída libre y
lanzamiento vertical:
Son movimientos rectilíneos
y uniformes a lo largo del eje Y sometidos a una aceleración en el sentido
negativo de este eje (g=-9,8m/s2 , en la superficie terrestre)
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10. Una roca se desprende desde un farellón situado
a una altura de 300m. 2s, más tarde se dispara un proyectil verticalmente
para que impacte en la roca y ésta se fragmente antes de llegar al suelo.
¿Con qué velocidad debe dispararse para que el impacto se produzca a una
altura de 150m?
Sol: 60,6m/s
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Movimientos compuestos
Principio de
Independencia de Galileo: Cuando un
cuerpo está sometido a dos movimientos simultáneos, su cambio de posición es
independiente del hecho de que los dos movimientos se produzcan sucesiva o
simultáneamente.
De este modo podemos
estudiar el movimiento de cuerpo descomponiéndolo de forma independiente en
los ejes de coordenadas.
La ecuación de la
trayectoria y=f(x) la obtendremos con un sistema de ecuaciones eliminando el
tiempo de la ecuación x(t) e y(t)
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11. Un nadador cruza un río de 10m de anchura con
velocidad constante de 5m/s. La corriente del río le empuja con una velocidad
de 2,5m/s a) ¿Con qué ángulo debe nadar para no desviarse respecto al punto
de salida? (b) ¿Cuánto tiempo tarda en cruzar el río?
Sol: (a) 120º respecto al sentido de la corriente.
(b) 2,3s
12. El vector velocidad de un móvil viene descrito
por la ecuación v(t)= 2i + (3+5t)j (m/s) (a) Deduce
la ecuación de la trayectoria y la posición respecto al origen cuando x=3m.
Sol: y=1,5x+0,625x2; r=(3,
10’125) (m)
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Lanzamiento horizontal: Lanzamiento con velocidad inicial horizontal (v0)
desde una altura inicial (y0)
Ecuación en el eje X: (MRU)x=v0t
Ecuaciones en el eje Y (Caída libre): y= y0+1/2gt2 ; vy=gt
Trayectoria (despejando el tiempo en la primera ecuación y
llevándolo a la segunda tenemos): y=y0 + gx2/(2v02)
Alcance máximo (calculando x para y=0) xmax=√(-2v02y0/g)
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13. Desde 200m de altura se dispara horizontalmente
un proyectil que alcanza su objetivo a 600m de distancia. ¿con qué velocidad
incide el proyectil sobre el objetivo?
Sol: 113,5m/s con un ángulo de -33,7º bajo la
horizontal
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Tiro parabólico: lanzamiento con velocidad inicial (v0)
que forma un ángulo θ con la horizontal.
Ecuación en el eje X (MRU) x=v0cosθt
Ecuaciones en el eje Y(Lanzamiento vertical) y=v0senθt+1/2gt2
Trayectoria: y=tgθx+ gx2/(2v02cos2θ)
Alcance máximo: xmax=2v02senθcosθ/g=
v02sen2θ/g
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14. Un saltador inicia un salto con velocidad de
10m/s ¿Con que ángulos conseguirá alcanzar una distancia de 8m?¿Conseguirá
saltar una valla de 1m?
Sol: 25,81º y 64,19º (sólo con el ángulo mayor pasará
la valla)
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CONCEPTOS
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APLICACIÓN
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Movimientos
circulares: Trayectoria circular de
radio R. A medida que el móvil recorre un espacion (s) coincidente con un
arco sobre la circunferencia, barre un ángulo (θ)
-Si
θ se expresa en radianes: s= θR
Velocidad
angular (ω) Variación del ángulo en la unidad de
tiempo. Su módulo viene dado por ω = dθ/dt. Su dirección es perpendicular al plano de
la circunferencia, pasa por su centro y su sentido según la regla de la mano
derecha. Se mide en rad/s.
Periodo
(Τ) Tiempo que se tarda en dar una vuelta. Τ=2π/ ω. Se mide en
segundos.
Frecuencia (n). Vueltas por segundo
n=1/ Τ= ω/ 2π. Se mide en s-1 (Hz)
Aceleración angular (a) Variación de la velocidad angular en la unidad de
tiempo a = dω/dt.
Se mide en rad/s2.
Relación entre magnitudes lineales y angulares Siempre que trabajemos con unidades del
S.I.
s= θR v=ωR aT= aR
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15.
Calcula la frecuencia, la velocidad angular, la velocidad lineal y la
aceleración del movimiento de traslación terrestres (suponiéndolo circular,
de radio 150 millones de km)
Sol:
3,17.10-8Hz; 2,0.10-7rad/s; 2,99.104m/s;
5,9.10-3m/s2
16. En un movimiento circular de 5m de radio,
el espacio recorrido varía en función del tiempo según la expresión s(t) =5t2
(m); Expresa en función del tiempo: el ángulo barrido; el módulo de las
velocidades lineal y angular; los modulos de las aceleraciones angular;
tangencial, normal y total:
Sol:
θ(t)= t2(rad); v(t)=10t (m/s); ω(t)=2t(rad/s);
a=2rad/s2; aT=10m/s2; aN(t)=
20t2(m/s2); a(t)= √(100 + 400t4)
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Movimiento
circular uniforme (MCU): La
velocidad angular y el módulos de la velocidad lineal son constantes. Sólo
hay aceleración normal
s= s0 + vt: θ= θ0 + ωt; aN=
v2/R= ω2R
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17.
Un astronauta se prepara en un rotor
de 3m de radio. que gira a tal velocidad que se ve sometido a una
aceleración de 4g. Calcula la velocidad con la que gira el rotor en r.p.m
Sol:
34,5r.p.m
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Movimiento
circular uniformemente acelerado (MCUA): La aceleración angular y el módulo de la tangencial permanecen
constantes.
s=s0 + v0t + 1/2aTt2; v=v0+ at; v2-v02=
2aT(s-s0)
θ=θ0 + ω0t
+ 1/2at2; ω= ω0 + at; ω2- ω02=
2a( θ-θ0)
aN= v2/R= ω2R
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18.
Las ruedas de un camión miden 50cm de radio. Éste se desplaza a 108km/h y, en
un momento dado, frena deteniéndose en 15 segundos. Averigua el número de
vueltas que dan las ruedas hasta que el camión se para.
Sol: 71,6 vueltas.
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